Matemática básica Ejemplos

$\frac{12 n^{2} - 363}{2 n^{2} - 25 n + 77} \div \frac{14 n^{2} + 73 n - 22}{n^{2} - 15 n + 56}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{12 n^{2} - 363}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $12 n^{2} - 363$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $12 n^{2}$ .

$\frac{3 (4 n^{2}) - 363}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $- 363$ .

$\frac{3 (4 n^{2}) + 3 (- 121)}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (4 n^{2}) + 3 (- 121)$ .

$\frac{3 (4 n^{2} - 121)}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2.2

Reescribe $4 n^{2}$ como ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(2 n)}^{2} - 121)}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2.3

Reescribe $121$ como $11^{2}$ .

$\frac{3 ({(2 n)}^{2} - 11^{2})}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 n$ y $b = 11$ .

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{2 n^{2} - 25 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 77 = 154$ y cuya suma es $b = - 25$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 25$ de $- 25 n$ .

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{2 n^{2} - 25 (n) + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 25$ como $- 11$ más $- 14$

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{2 n^{2} + (- 11 - 14) n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{2 n^{2} - 11 n - 14 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{(2 n^{2} - 11 n) - 14 n + 77} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{n (2 n - 11) - 7 (2 n - 11)} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 n - 11$ .

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{(2 n - 11) (n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2 n - 11$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 n + 11) (2 n - 11)}{(2 n - 11) (n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{n^{2} - 15 n + 56}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 5

Factoriza $n^{2} - 15 n + 56$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $56$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 8, - 7$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{14 n^{2} + 73 n - 22}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 14 \cdot - 22 = - 308$ y cuya suma es $b = 73$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $73$ de $73 n$ .

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{14 n^{2} + 73 (n) - 22}$

Paso 6.1.2

Reescribe $73$ como $- 4$ más $77$

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{14 n^{2} + (- 4 + 77) n - 22}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{14 n^{2} - 4 n + 77 n - 22}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{(14 n^{2} - 4 n) + 77 n - 22}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{2 n (7 n - 2) + 11 (7 n - 2)}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 n - 2$ .

$\frac{3 (2 n + 11)}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{(7 n - 2) (2 n + 11)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2 n + 11$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2 n + 11$ de $3 (2 n + 11)$ .

$\frac{(2 n + 11) \cdot 3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{(7 n - 2) (2 n + 11)}$

Paso 7.2

Factoriza $2 n + 11$ de $(7 n - 2) (2 n + 11)$ .

$\frac{(2 n + 11) \cdot 3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{(2 n + 11) (7 n - 2)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común.

$\frac{(2 n + 11) \cdot 3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{(2 n + 11) (7 n - 2)}$

Paso 7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 8) (n - 7)}{7 n - 2}$

Paso 8

Cancela el factor común de $n - 7$ .

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Paso 8.1

Factoriza $n - 7$ de $(n - 8) (n - 7)$ .

$\frac{3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 7) (n - 8)}{7 n - 2}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{n - 7} \cdot \frac{(n - 7) (n - 8)}{7 n - 2}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$3 \frac{n - 8}{7 n - 2}$

Paso 9

Combina $3$ y $\frac{n - 8}{7 n - 2}$ .

$\frac{3 (n - 8)}{7 n - 2}$